ある集合Aというものを考える。

　・足し算の定義

　このような性質を満たすものを「足し算」として定義する。
　(3)の性質によって、0というものの存在を知ることができる。

　・引き算の定義

　この性質により、Aの任意の要素aに対して-aというものが存在する。
　そしてそれをaに加えると(3)で出てきた0というものになる。
　また+を省略して、a+(-b) を単に a-b と表記することが多い。

　・掛け算の定義

　このような性質を満たすものを「掛け算」として定義する。
　また×を省略して、a×b を ab と表記することが多い。

　・足し算と掛け算との間の分配法則


　・割り算の定義

　この性質により、Aの任意の要素aに対して、掛けると1になるような数が存在する。
　その数を 1/a と表すことを示している。a^-1と表すこともある。
　また a×(1/b) を a/b あるいは a÷b と表記することが多い。